Question

在直角坐標坐標系中，已知一個圓心在坐標原點，半徑為2的圓，從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段PP′，P′為垂足．
（1）求線段PP′中點M的軌跡C的方程．
（2）過點Q（一2，0）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設(shè)N是過點（，0），且以言為方向向量的直線上一動點，滿足（O為坐標原點），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線Z的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)M（x，y）是所求曲線上的任意一點，然后設(shè)出P，P'坐標代入方程，化簡即可求出軌跡C的方程．
（2）設(shè)出直線l的方程，以及與橢圓的交點坐標，將直線方程代入已知C的方程，聯(lián)立并化簡，根據(jù)根的判別式計算
解答：解：（1）設(shè)M（x，y）是所求曲線上的任意一點，
P（x₁，y₁）是方程x²+y²=4的圓上的任意一點，則p'（0，y₁）．
則有：，即，代入x²+y²=4得，
軌跡C的方程為
（2）當直線l的斜率不存在時，與橢圓無交點．
所以設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），與橢圓交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，N點所
在直線方程為．
由得（4+k²）x²+4k²x+4k²-4=0．
由△=16k⁴-4（4+k²）（4k²-4）≥0，∴．
即
∵，即，
∴四邊形OANB為平行四邊形
假設(shè)存在矩形OANB，則，即x₁x₂+y₁y₂=0，
即（k²+1）x₁x₂+2k²（x₁+x₂）+4k²=0，
于是有得
設(shè)N（x，y），由得，
即點N在直線x=-上．∴存在直線l使四邊形OANB為矩形，
直線l的方程為．
點評：本題考查圓錐曲線的綜合運用以及軌跡方程的應(yīng)用，通過對圓錐曲線知識的綜合運用，考查學生的能力，屬于中檔題．