Question

在直角坐標(biāo)坐標(biāo)系中，已知一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段PP′，P′為垂足．
（1）求線段PP′中點(diǎn)M的軌跡C的方程．
（2）過(guò)點(diǎn)Q（一2，0）作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)N是過(guò)點(diǎn)（-

4

17

，0），且以言

a

=(0，1)為方向向量的直線上一動(dòng)點(diǎn)，滿足

ON

=

OA

+

OB

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），問(wèn)是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線Z的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x，y）是所求曲線上的任意一點(diǎn)，然后設(shè)出P，P'坐標(biāo)代入方程，化簡(jiǎn)即可求出軌跡C的方程．
（2）設(shè)出直線l的方程，以及與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，將直線方程代入已知C的方程，聯(lián)立并化簡(jiǎn)，根據(jù)根的判別式計(jì)算

解答：解：（1）設(shè)M（x，y）是所求曲線上的任意一點(diǎn)，
P（x₁，y₁）是方程x²+y²=4的圓上的任意一點(diǎn)，則p'（0，y₁）．
則有：

x= x1 2 y= y1+y1 2

，即

x1=2x y1=y

，代入x²+y²=4得，
軌跡C的方程為x2+

y2

4

=1
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，與橢圓無(wú)交點(diǎn)．
所以設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），與橢圓交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，N點(diǎn)所
在直線方程為x+

4

17

=0．
由

x2+ y2 4 =1 y=k(x+2)

得（4+k²）x²+4k²x+4k²-4=0．
由△=16k⁴-4（4+k²）（4k²-4）≥0，∴k2≤

4

3

．
即-

2 3

3

≤k≤

2 3

3

.x1+x2=

-4k2

4+k2

，x1x2=

4(k2-1)

4+k2

.
∵

ON

=

OA

+

OB

，即

AN

=

OB

，
∴四邊形OANB為平行四邊形
假設(shè)存在矩形OANB，則

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
即（k²+1）x₁x₂+2k²（x₁+x₂）+4k²=0，
于是有

16k2-4

4+k2

=0得k=±

1

2

設(shè)N（x₀，y₀），由

ON

=

OA

+

OB

得x0=x1+x2=-

4k2

4+k2

=-

4

17

，
即點(diǎn)N在直線x=-

4

17

上．∴存在直線l使四邊形OANB為矩形，
直線l的方程為y=±

1

2

(x+2)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合運(yùn)用以及軌跡方程的應(yīng)用，通過(guò)對(duì)圓錐曲線知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生的能力，屬于中檔題．