Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極坐標(biāo)建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=2sinθ．
（I）寫(xiě)出直線(xiàn)l和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，Q在曲線(xiàn)C上，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （I）直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=2sinθ，即ρ²cos²θ=2ρsinθ，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可化為直角坐標(biāo)方程．
（II）設(shè)Q$（x，\frac{{x}^{2}}{2}）$，則點(diǎn)Q到直線(xiàn)l的距離d=$\frac{2（x-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}}{2\sqrt{2}}$，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出最小值．

解答 解：（I）直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程：x-y-1=0．
曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=2sinθ，即ρ²cos²θ=2ρsinθ，∴直角坐標(biāo)方程為：x²=2y．
（II）設(shè)Q$（x，\frac{{x}^{2}}{2}）$，則點(diǎn)Q到直線(xiàn)l的距離d=$\frac{|x-\frac{{x}^{2}}{2}-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2（x-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}}{2\sqrt{2}}$≥$\frac{15\sqrt{2}}{32}$．
∴當(dāng)取Q$（\frac{1}{4}，\frac{1}{32}）$時(shí)，|PQ|取得最小值$\frac{15\sqrt{2}}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．