Question

4．已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ²-4$\sqrt{2}$ρsin（$\frac{3π}{4}$-θ）+6=0．
（1）將極坐標(biāo)方程化為圓的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）圓的極坐標(biāo)方程為ρ²-4$\sqrt{2}$ρsin（$\frac{3π}{4}$-θ）+6=0．展開可得：ρ²-4$\sqrt{2}$ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ+sinθ）+6=0，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化為直角坐標(biāo)方程．
（2）由x²+y²-4x-4y+6=0配方可得：（x-2）²+（y-2）²=2，令x=2+$\sqrt{2}$cosα，y=2+$\sqrt{2}$sinα，（α∈[0，2π））．可得x+y=4+2sin$（α+\frac{π}{4}）$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出最值

解答 解：（1）圓的極坐標(biāo)方程為ρ²-4$\sqrt{2}$ρsin（$\frac{3π}{4}$-θ）+6=0．展開可得：ρ²-4$\sqrt{2}$ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ+sinθ）+6=0，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²-4x-4y+6=0．
（2）由x²+y²-4x-4y+6=0配方可得：（x-2）²+（y-2）²=2，令x=2+$\sqrt{2}$cosα，y=2+$\sqrt{2}$sinα，（α∈[0，2π））．
則x+y=2+$\sqrt{2}$cosα+2+$\sqrt{2}$sinα=4+2sin$（α+\frac{π}{4}）$∈[2，6]．
∴當(dāng)sin$（α+\frac{π}{4}）$=-1時(shí)，x+y=2取得最小值．
當(dāng)sin$（α+\frac{π}{4}）$=1時(shí)取得最大值6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程的應(yīng)用、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．