Question

3．已知三棱錐A-BCD中，AB、AC、AD兩兩垂直且長度均為10，定長為m（m＜6）的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱AB上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在△ACD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），線段MN的中點(diǎn)P的軌跡的面積為2π，則m的值等于4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，由三棱錐A-BCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，可得MA⊥AN．即∠MAN=90°，可得AP=$\frac{1}{2}$m，且點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，是以點(diǎn)A為圓心，$\frac{1}{2}$m為半徑的圓的$\frac{1}{4}$，利用面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：如圖所示
∵三棱錐A-BCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，
∴MA⊥AN．
∴∠MAN=90°，點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)，
可得AP=$\frac{1}{2}$m，且點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，
是以點(diǎn)A為圓心，$\frac{1}{2}$m為半徑的圓的$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$×$π（\frac{1}{2}m）^{2}$=2π，
解得m=4$\sqrt{2}$．
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系、直角三角形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．