Question

某長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐后，形成的幾何體的平面展開(kāi)圖的一部分如圖1所示．
（Ⅰ）請(qǐng)?jiān)趫D2上補(bǔ)畫(huà)出該幾何體的直觀圖，并求出被截去的三棱錐的體積；
（Ⅱ）在該幾何體的直觀圖中連結(jié)CD′，求證：CD′⊥AF；
（Ⅲ）在該幾何體中求平面AFG與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）畫(huà)出幾何體的直觀圖，被截去的三棱錐的底面是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，高為2，由此能求出其體積．
（Ⅱ）分別以DA、DC、DD′為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明CD′⊥AF．
（Ⅲ）求出平面AFG的一個(gè)法向量和平面ABCD的一個(gè)法向量，利用向量法能求出平面AFG與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）解：畫(huà)出幾何體的直觀圖如1，
被截去的三棱錐的底面是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，高為2，
其體積V=

1

3

×

1

2

×1×1×2=

1

3

．…5分
（Ⅱ）證明：如圖2，分別以DA、DC、DD′為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，4，0），D′（0，0，2），A（2，0，0），F(xiàn)（2，1，2），…7分
∴

AF

=（0，1，2），

CD′

=（0，-4，2），
∵

AF

•

CD′

=0-4+4=0，
∴CD′⊥AF．
（Ⅲ）解：設(shè)

n

=（x，y，z）是平面AFG的一個(gè)法向量，
G（1，0，2），

AG

=（-1，0，2），
則

n • AF =y+2z=0 n • AG =-x+2z=0

，
取z=1，得

n

=（2，-2，1），…11分
由題意知平面ABCD的一個(gè)法向量為

m

=（0，0，1）…12分
設(shè)平面AFG與平面ABCD所成的銳二面角的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

1

3

|=

1

3

，…13分
即平面AFG與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為

1

3

．…14分

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的直觀圖的畫(huà)法，考查幾何體的體積的求法，考查兩直線(xiàn)垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．