Question

已知B（-2，0），C（2，0）是△ABC的兩個頂點，且滿足|sinB-sinC|=

1

2

sinA．
（Ⅰ）求頂點A的軌跡方程；
（Ⅱ）過點C作傾斜角為

π

4

的直線交點A的軌跡于E、F兩點，求|EF|．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由于滿足|sinB-sinC|=

1

2

sinA．利用正弦定理得，|b-c|=

1

2

a．再利用雙曲線的定義即可得出．
（II）過C（2，0）傾斜角為

π

4

的直線為y=x-2，與雙曲線的定義聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵滿足|sinB-sinC|=

1

2

sinA．
由正弦定理得，|b-c|=

1

2

a．
∵B（-2，0），C（2，0）
∴a=4．
∴|b-c|=

1

2

a=2＜BC，
∴A點的軌跡是雙曲線，
方程為x2-

y2

3

=1（y≠0）．
（Ⅱ）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．
過C（2，0）傾斜角為

π

4

的直線為y=x-2，
則

y=x-2 x2- y2 3 =1(y≠0)

，消去y得，2x²+4x-7=0，
∴x₁+x₂=-2，x1x2=-

7

2

．
∴|EF|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2×[22-4×(- 7 2 )]

=6．

點評：本題考查了正弦定理、雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與雙曲線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立根與系數(shù)的關(guān)系、用弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．