Question

設(shè)O為正方形ABCD的中心，四邊形ODEF是平行四邊形，且平面ODEF⊥平面ABCD，若AD=2，DE=

2

．
（Ⅰ）求證：FD⊥平面ACE．
（Ⅱ）線段EC上是否存在一點M，使AE∥平面BDM？若存在，求EM：MC的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）先證出平行四邊形ODEF為菱形，得到FD⊥OE，再根據(jù)線面垂直的判定定理，進(jìn)行證明；
（Ⅱ若M是線段EC的中點，O為AC中點，得出EA∥OM，從而AE∥平面BDM，進(jìn)而得出比值．

解答： 解：（Ⅰ）在正方形ABCD中，BD⊥AC，
∵AD=2，∴BD=2

2

，OD=

2

，
∵DE=OD，∴平行四邊形ODEF為菱形，∴FD⊥OE，
又∵平面ODEF⊥平面ABCD，∴AC⊥平面ODEF，∴AC⊥DF，
而AC∩OD=O，∴FD⊥平面ACE；
（Ⅱ）存在線段EC的中點M，使AE∥平面BDM，
若M是線段EC的中點，O為AC中點，∴EA∥OM，
∵OM?平面BDM，EA?平面BDM，∴AE∥平面BDM，
此時EM：MC的值為1．

點評：本題考查了線面垂直的判定定理，線面平行的判定定理，是一道中檔題．