Question

如圖所示，是正三角形，和都垂直于平面，且，是的中點(diǎn).

求證：（1）平面；
（2）.

Answer 1

（1）根據(jù)題意，取AB中點(diǎn)N，連接FN、NC；又F為BE的中點(diǎn) ∴FN為的中位線,那么FN∥AE，進(jìn)而得到平行性，AE∥CD，得到結(jié)論。
（2）對(duì)于已知中，由于AE="AB"  F是BE的中點(diǎn) 在中N是AB的中點(diǎn)  ∴AF⊥BE  CN⊥AB，那么根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理來(lái)的得到結(jié)論。

試題分析：證明：（1）取AB中點(diǎn)N，連接FN、NC；又F為BE的中點(diǎn) ∴FN為的中位線, ∴FN∥AE  FN=AE   又AE、CD都垂直與面ABC，2CD=AE   ∴AE∥CD   ∴ CD∥FN且CD=FN
∴四邊形CDFN為平行四邊形  ∴DF∥CN   又CN面ABC  ∴ DF∥面ABC
（2）∵AE="AB"  F是BE的中點(diǎn) 在中N是AB的中點(diǎn)  ∴AF⊥BE  CN⊥AB
∵AE⊥面ABC  AE面ABE   ∴面ABE⊥面ABC  又CN⊥AB   ∴CN⊥面ABE
∴ DF⊥面ABE   ∴ DB在平面ABE的射影為BF   ∴ AF⊥BD
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了熟練的運(yùn)用中位線來(lái)證明平行和線面垂直的性質(zhì)定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。