Question

1．若（1+3x）¹⁰⁰=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₁₀₀（x-1）¹⁰⁰，a_i∈R，i=1，2，3，…，則a₁+a₃+a₅+…+a₉₉=$\frac{1}{2}（{{7^{100}}-1}）$．

Answer 1

分析 （1+3x）¹⁰⁰=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₁₀₀（x-1）¹⁰⁰，a_i∈R，i=1，2，3，…，分別令x=0，x=2，相減即可得出．

解答 解：（1+3x）¹⁰⁰=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₁₀₀（x-1）¹⁰⁰，a_i∈R，i=1，2，3，…，
令x=0，可得：1=a₀-a₁+a₂+…-a₉₉+a₁₀₀，
令x=2，可得：7¹⁰⁰=a₀+a₁+a₂+…+a₉₉+a₁₀₀，
則a₁+a₃+a₅+…+a₉₉=$\frac{1}{2}（{7}^{100}-1）$．
故答案為：$\frac{1}{2}（{7}^{100}-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、方程思想，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．