Question

如圖，E，F(xiàn)分別在矩形ABCD的邊AD，BC上，AB=2，AD=5，AE=1，BF=3，現(xiàn)將四邊形AEFB沿EF折起到A′EFB′，使DF⊥B′F．
（Ⅰ）求證：A′E∥平面B′DF
（Ⅱ）求證：平面A′EFB′⊥平面CDEF；
（Ⅲ）求直線B′D與平面A′EFB′所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）折疊前AE∥BF，折疊后A′E∥B′F，利用線面平行的判定定理，可得A′E∥平面B′DF；
（Ⅱ）根據折疊前線段的長度，判定EF與DF的垂直關系，再利用線線垂直⇒線面垂直，然后由線面垂直⇒面面垂直．
（Ⅲ）由DF⊥平面A′EFB′，可得∠DB′F為直線B′D與平面A′EFB′所成角，從而可求直線B′D與平面A′EFB′所成角的余弦值．

解答： （I）證明：折疊前AE∥BF，折疊后A′E∥B′F，
∵A′E?平面B′DF，B′F?平面B′DF
∴A′E∥平面B′DF；
（Ⅱ）證明：∵DF=EF=2

2

，ED=4，
∴EF⊥DF，又∵DF⊥B′F，EF∩B′F=F，
∴DF⊥平面A′EFB′，又DF?平面CDEF，
∴平面A′EFB′⊥平面CDEF；
（Ⅲ）解：∵DF⊥平面A′EFB′，
∴∠DB′F為直線B′D與平面A′EFB′所成角，
由B′F=BF=3，DF=2

2

，∴B′D=

17

，
∴cos∠DB′F=

B′F

B′D

=

3 17

17

，
即直線B′D與平面A′EFB′所成角的余弦值為

3 17

17

．

點評：本題考查直線與平面平行、平面與平面垂直的證明，考查線面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．