Question

設S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且2a_n+S_n=An²+Bn+C．
（1）當A=B=0，C=1時，求a_n；
（2）若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且A=1，C=-2．
①求a_n；
②設b_n=

1

an an+1 +an+1 an

，且數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求T₆₀的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意得an=

2

3

an-1，由此求出an=

1

3

(

2

3

)n-1．
（2）①數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，由通項公式與求和公式，得a_n=2n-1．
②b_n=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項求和法能求出T₆₀的值．

解答： 解：（1）由題意得，2a_n+S_n=1，
∴2a_n-1+S_n-1=1（n≥2），
兩式相減，得an=

2

3

an-1，…（3分）
又當n=1時，有3a₁=1，即a1=

1

3

，
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
∴an=

1

3

(

2

3

)n-1．…（5分）
（2）①∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
由通項公式與求和公式，得：
2an+Sn=2a1+2(n-1)d+

d

2

n2+(a1-

d

2

)n=

d

2

n2+(a1+

3d

2

)n+2a1-2d，
∵A=1，C=-2，∴

d

2

=1，a₁-d=-2，
∴d=2，a₁=1，∴a_n=2n-1．（10分）
②b_n=

1

an an+1 +an+1 an

=

1

(2n-1) 2n+1 +(2n+1) 2n-1

=

1

2n-1 2n+1 ( 2n-1 + 2n+1 )

=

2n+1 - 2n-1

2n-1 2n+1 ( 2n-1 + 2n+1 )( 2n+1 - 2n-1 )

=

2n+1 - 2n-1

2 2n-1 2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（13分）
則Tn=

1

2

(

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)，
∴T60=

1

2

(

1

1

--

1

121

)=

1

2

(1-

1

11

)=

5

11

…（16分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．