Question

對于函數(shù)f（x），若在定義域存在實(shí)數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”．
（1）已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2bx-4a（a，b∈R），試判斷f（x）是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；
（2）設(shè)f（x）=2^x+m是定義在[-1，1]上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷

專題：新定義

分析：（1）根據(jù)“局部奇函數(shù)”的定義，只要判斷條件f（-x）=-f（x）是否成立即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)“局部奇函數(shù)”的定義，解方程f（-x）=-f（x），即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）為“局部奇函數(shù)”等價(jià)于關(guān)于x的方程f（-x）+f（x）=0有解．
即f（x）+f（-x）=0⇒2a（x²-4）=0，
有解x=±2，∴f（x）為“局部奇函數(shù)”．
（2）當(dāng)f（x）=2^x+m時(shí)，f（x）+f（-x）=0可轉(zhuǎn)化為2^x+2^-x+2m=0，
∵f（x）的定義域?yàn)閇-1，1]，
∴方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解，
令t=2x∈[

1

2

，2]，
則-2m=t+

1

t

．
∵g(t)=t+

1

t

在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∴g(t)∈[2，

5

2

]，
∴-2m∈[2，

5

2

]，
即m∈[-

5

4

，-1]．

點(diǎn)評：本題主要考查新定義的應(yīng)用，利用新定義，建立方程關(guān)系，然后利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．