Question

n個人互相傳球，由甲開始發(fā)球，經(jīng)過m次傳球后，球仍回到甲的手中，一共有多少種傳法？（m≥2，n≥3）．

Answer 1

考點：排列、組合的實際應(yīng)用

專題：排列組合

分析：傳球問題核心公式：n傳m球，記X=

(n-1)m

n

，然后利用等比數(shù)列求的答案．

解答： 解：設(shè)k（k∈N^*）次傳給甲的方式有a_k種，得a_k+1=（n-1）k-a_k，
令b_k=

ak

(n-1)

，得（n-1）b_k+1+b_k=1，
變形得，b_k+1-

1

n

=-

1

n-1

（b_k-

1

n

），
{b_k-

1

n

}是公比為-

1

n-1

的等比數(shù)列，
∴b_k-

1

n

=（b1-

1

n

）(-

1

n-1

)k-1，b1=

a1

n-1

=0，
∴b_k-

1

n

=（-

1

n

）(-

1

n-1

)k-1，
∴b_k=

n-1

n

[（n-1）^k-1-（-1）^k-1]，
∵ak=

(n-1)k

n

[1-(-

1

n-1

)k-1]，
當(dāng)k=m時，am=

n-1

n

[（n-1）^m-1-（-1）^m-1]
∴一共有

n-1

n

[（n-1）^m-1-（-1）^m-1]種傳法．

點評：此題考查了排列組合，傳球不能傳給自己，但兩者之間可以互傳．要能夠理解第m-1次不可以傳給甲．此題若用樹狀圖分析更好，但是人數(shù)和傳球次數(shù)較多，樹狀圖很難完成．