Question

1．已知非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足|${\overrightarrow a}$|=1，且（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）=$\frac{3}{4}$．
（1）求|${\overrightarrow b}$|；  
 （2）當(dāng)$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=-$\frac{1}{4}$時(shí)，求向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$的夾角θ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可求出${\overrightarrow}^{2}=\frac{1}{4}$，從而得出$|\overrightarrow|$的值；
（2）根據(jù)$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-\frac{1}{4}$，及${\overrightarrow{a}}^{2}=1$即可求出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）$的值，進(jìn)而求出$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|$的值，從而根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出cosθ的值，從而得出θ的值．

解答 解：（1）根據(jù)條件，$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）={\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}$=$1-{\overrightarrow}^{2}=\frac{3}{4}$；
∴${\overrightarrow}^{2}=\frac{1}{4}$；
∴$|\overrightarrow|=\frac{1}{2}$；
（2）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-\frac{1}{4}$；
∴$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{1-1+1}=1$；
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|}=\frac{\frac{1}{2}}{1×1}=\frac{1}{2}$；
∵θ∈[0，π]；
∴$θ=\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量夾角的余弦公式，根據(jù)$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）^{2}}$求向量長(zhǎng)度的方法，以及清楚向量夾角的范圍，已知三角函數(shù)值求角．