Question

12．若對(duì)x＞0，y＞0，有（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）≥m恒成立，則m的最大值為8．

Answer 1

分析 先根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求出（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）的最小值為8，再根據(jù)不等式恒成立的問(wèn)題求出m的范圍，問(wèn)題得以解決．

解答 解：∵x＞0，y＞0，
∴（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）=2+2+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥4+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}$=8，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)，
∴（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）的最小值為8，
∵對(duì)x＞0，y＞0，有（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）≥m恒成立，
∴m≤8，
∴m的最大值為8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的基本性質(zhì)和不等式恒成立的問(wèn)題，屬于中檔題．