Question

8．在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ為參數(shù)）$，以平面直角坐標系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）寫出直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程；
（2）在曲線C上求一點P，使點P到直線l的距離最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的互化方法，求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程；
（2）設(shè)P（$\sqrt{3}$cosθ，2sinθ），求出圓心到直線l的距離，即可在曲線C上求一點P，使點P到直線l的距離最大，并求出此最大值．

解答 解：（1）直線l：ρ（2cosθ-sinθ）=6，直角坐標方程為2x-y-6=0
結(jié)合sin²θ+cos²θ=1，消去θ得曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ為參數(shù)）$的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設(shè)P（$\sqrt{3}$cosθ，2sinθ），圓心到直線l的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-2sinθ-6|}{\sqrt{7}}$=$\frac{|4sin（θ-\frac{π}{3}）+6|}{\sqrt{7}}$，
∴sin（$θ-\frac{π}{3}$）=1，即P（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）時，點P到直線l的距離最大，最大值為$\frac{10\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查參數(shù)方程；極坐標方程；直線與圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．