Question

請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，是邊長為的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，在上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)．

（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積最大，試問應(yīng)取何值？

（2）若廣告商要求包裝盒容積最大，試問應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值．

 

 

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，取得最大值；（2）當(dāng)時(shí)取得極大值，也是最大值，此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值為．

【解析】

試題分析：（1）先設(shè)包裝盒的高為，底面邊長為，寫出，與的關(guān)系式，并注明的取值范圍，再利用側(cè)面積公式表示出包裝盒側(cè)面積關(guān)于的函數(shù)解析式，最后求出何時(shí)它取得最大值即可；

（2）利用體積公式表示出包裝盒容積關(guān)于的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求出何時(shí)它取得的最大值即可．

設(shè)包裝盒的高為，底面邊長為

由已知得

（1）∵ 2分

∴當(dāng)時(shí)，取得最大值 3分

（2）根據(jù)題意有 5分

∴。

由得，(舍)或。

∴當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí) 7分

∴當(dāng)時(shí)取得極大值，也是最大值，此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值為

即包裝盒的高與底面邊長的比值為 10分．

考點(diǎn)：1．函數(shù)的應(yīng)用問題；2．函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)；3．二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．