【題目】設(shè)函數(shù)（R）．

（1）求函數(shù)在R上的最小值；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（3）若方程在上有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）通過(guò)換元法將函數(shù)變形為二次函數(shù)，同時(shí)利用分類討論的方法求解最大值；

（2）恒成立需要保證即可，對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行分析，根據(jù)取到最大值時(shí)的情況得到的范圍；

（3）通過(guò)條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)求的范圍，這里將所有滿足條件的不等式列出來(lái)，求解出的范圍.

解：（1）令，，則，對(duì)稱軸為．

①，即，．

②，即，．

③，即，．

綜上可知，

（2）由題意可知，，，的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，最大值一定在端點(diǎn)處取得，所以有

故．

（3）令，．由題意可知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，所以原題可轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根．所以有

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）分別求出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)在曲線上，且到直線的距離為1，求滿足這樣條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知為實(shí)常數(shù)，函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，且與拋物線的焦點(diǎn)重合.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公園欲將一塊空地規(guī)劃成如圖所示的區(qū)域，其中在邊長(zhǎng)為20米的正方形內(nèi)種植經(jīng)紅色郁金香，在正方形的剩余部分（即四個(gè)直角三角形內(nèi)）種植黃色郁金香．現(xiàn)要在以為邊長(zhǎng)的矩形內(nèi)種植綠色草坪，要求綠色草坪的面積等于黃色郁金香的面積．設(shè)，米．

（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；并證明：當(dāng)時(shí)，；

（3）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，設(shè)最小值為，求函數(shù)的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】網(wǎng)絡(luò)游戲要實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展，必須要發(fā)展綠色網(wǎng)游.為此，國(guó)家文化部將從內(nèi)容上對(duì)網(wǎng)游作出強(qiáng)制規(guī)定，國(guó)家信息產(chǎn)業(yè)部還將從技術(shù)上加強(qiáng)對(duì)網(wǎng)游的強(qiáng)制限制，開(kāi)發(fā)限制網(wǎng)癮的疲勞系統(tǒng)，現(xiàn)已開(kāi)發(fā)的“游戲防沉迷系統(tǒng)”規(guī)則如下：

①小時(shí)以內(nèi)（含小時(shí)）為健康時(shí)間，玩家在這段時(shí)間內(nèi)獲得的累積經(jīng)驗(yàn)值（單位：）與游戲時(shí)間（小時(shí)）滿足關(guān)系式：（為常數(shù)）；

②小時(shí)到小時(shí)（含小時(shí)）為疲勞時(shí)間，玩家在這段時(shí)間內(nèi)獲得的經(jīng)驗(yàn)值為（即累積經(jīng)驗(yàn)值不變）；

③超過(guò)小時(shí)為不健康時(shí)間，累積經(jīng)驗(yàn)值開(kāi)始損失，損失的經(jīng)驗(yàn)值與不健康時(shí)間成正比例關(guān)系，比例系數(shù)為.

（1）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出累積經(jīng)驗(yàn)值與游戲時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，并求出游戲小時(shí)的累積經(jīng)驗(yàn)值；

（2）定義“玩家愉悅指數(shù)”為累積經(jīng)驗(yàn)值與游戲時(shí)間的比值，記作；若，開(kāi)發(fā)部門(mén)希望在健康時(shí)間內(nèi)，這款游戲的“玩家愉悅指數(shù)”不低于，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4.

（1）從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；

（2）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求的概率

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，在拋物線上任取一點(diǎn)，過(guò)做的垂線，垂足為.

（1）若，求的值；

（2）除外，的平分線與拋物線是否有其他的公共點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

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