【題目】已知函數(shù),

1)求曲線在點處的切線方程;

2)若函數(shù),求的單調(diào)區(qū)間;并證明:當時,;

3)證明:當時,函數(shù)有最小值,設最小值為,求函數(shù)的值域.

【答案】1;(2的單調(diào)遞增區(qū)間為;證明見解析;(3)證明見解析;.

【解析】

1)由導數(shù)的幾何意義可得切線斜率為1,利用點斜式即可得解;

2)由題意,求導后可得,即可得的單調(diào)區(qū)間;由時,,即可得證;

3)求出函數(shù)的導數(shù),令,由(2)知的單調(diào)性,可得存在唯一實數(shù)使得,則,令,求導后即可得解.

1,,

故所求直線方程為;

2)由題意,

,

的單調(diào)遞增區(qū)間為,;

時,,

可得

,得證.

3)由題意,

,

由(2)知,上單調(diào)遞增,

,存在唯一實數(shù)使得,

時,,函數(shù)單調(diào)遞減;

時,,,函數(shù)單調(diào)遞增;

上有最小值

,

,

,函數(shù)上單調(diào)遞增,

,

函數(shù)的值域為.

練習冊系列答案
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