Question

統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，2008年至2014年間，我國已累計開工建設(shè)保障性安居工程910萬套．日前，住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部表示，計劃2015年全國開工建設(shè)保障性安居工程700萬套．我市新一批保障性住房建設(shè)也在積極籌劃中，有關(guān)部門已投入3200萬元購置了一塊土地，并計劃在這塊土地上建造一棟n（15＜n＜30）層大樓，每層總面積為2000m²．現(xiàn)已知第一層的建筑費用為2200元/m²，并且每升高一層，建筑費用增加80元/m²
（1）建設(shè)這棟大樓的綜合費用為y萬元，寫出函數(shù)y=f（n）的表達式
（2）當n為何值時，建設(shè)該大樓的每平方米的平均綜合費用最低？（注：綜合費用=建設(shè)費用與購地費用之和）

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系即可寫出函數(shù)y=f（n）的表達式
（2）利用基本不等式的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值．

解答： 解（Ⅰ）由題意知，建造第1層樓房每平方米建筑費用為2200元，
因此，建造第1層樓房建筑費用為2200×2000=440（萬元），-----------------（1分）
樓房每升高一層，整層樓建筑費用提高80×2000=16（萬元），------------------（2分）
∴建造第n層時的建筑費用為440+（n-1）×16=16n+424（萬元），-------------（4分）
若建造n層，該樓房的綜合費用為y=f(n)=440n+

n(n-1)

2

×16+3200=8n2+432n+3200，
∴y=f（n）=8n²+432n+3200（15＜n＜30，n∈N）．--------------------------------（6分）
（Ⅱ）該樓房每平方米的平均綜合費用為g（n），則g(n)=

f(n)×10000

2000n

------------------------------------（8分）=

5f(n)

n

=

5(8n2+432n+3200)

n

=5(8n+

3200

n

+432)-------------------------（9分）≥5(2

8n• 3200 n

+432)=3760-------------------------（11分）
當且僅當8n=

3200

n

，即n=20時等號成立．-------------------------（12分）
∴應(yīng)把樓層建成20層時平均綜合費用最低．

點評：本題主要考查數(shù)列基本知識應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力和推理論證能力，利用基本不等式的性質(zhì)求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．