Question

15．已知a，b∈R，求證：$\frac{{6}^{a}}{3{6}^{a+1}+1}$≤$\frac{5}{6}$-b+$\frac{^{2}}{3}$．

Answer 1

分析 通過基本不等式可知6^a+2+$\frac{1}{{6}^{a}}$≥2•$\sqrt{{6}^{a+2}•\frac{1}{{6}^{a}}}$=12，從而$\frac{{6}^{a}}{3{6}^{a+1}+1}$≤$\frac{1}{12}$，通過配方可知$\frac{5}{6}$-b+$\frac{^{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$•$（b-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{1}{12}$≥$\frac{1}{12}$，進而可得結(jié)論．

解答 證明：∵6^a+2+$\frac{1}{{6}^{a}}$≥2•$\sqrt{{6}^{a+2}•\frac{1}{{6}^{a}}}$=12，
∴$\frac{{6}^{a}}{3{6}^{a+1}+1}$=$\frac{1}{{6}^{a+2}+\frac{1}{{6}^{a}}}$≤$\frac{1}{12}$，
又∵$\frac{5}{6}$-b+$\frac{^{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$•$（b-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{1}{12}$≥$\frac{1}{12}$，
∴$\frac{{6}^{a}}{3{6}^{a+1}+1}$≤$\frac{5}{6}$-b+$\frac{^{2}}{3}$．

點評 本題考查不等式的證明，涉及基本不等式、配方法等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．