Question

【題目】若無窮數(shù)列滿足：，且對任意的，（，，，）都有，則稱數(shù)列為“G”數(shù)列.

（1）已知等比數(shù)列的通項為，證明：是“G”數(shù)列；

（2）記數(shù)列的前n項和為且有，若對每一個取，中的較小者組成新的數(shù)列，若數(shù)列為“G”數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍？

（3）若數(shù)列是“G”數(shù)列，且數(shù)列的前n項之積滿足，求證：數(shù)列是等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）由數(shù)列為等比數(shù)列，根據(jù)其性質即可得證；

（2）由，可得，在根據(jù)其為“”數(shù)列，得出實數(shù)的取值范圍即可；

（3）利用是“”數(shù)列可以得出，在利用比值的形式即可求證.

（1）因為等比數(shù)列通項為，

當，時，

，

所以是“ “數(shù)列．

（2）因為，所以，

因為無窮數(shù)列滿足：，可知；

所以，，

又，

從而，

考察到數(shù)列從第二項起為等比數(shù)列，則同第（1）問，

有當，，，，恒有，

那么當時，由數(shù)列為“ “數(shù)列

可知對任意的，，，，恒有，

即有，等價于，恒成立，

由，知；

綜上：．

（3）若數(shù)列是“”數(shù)列，則，

①當時，

；

；

；

；

疊乘即可得出，即；

②當時；

；

；

；

；

；即；

即；

綜上所述：對任意的，均有；

，

；①

②；

由可得：，即③；

④；

由③④可得：；

；

數(shù)列是等比數(shù)列；