【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，求證：.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，求，判斷的單調(diào)性，從而求出a的取值范圍；

（2）不妨設(shè)，由題意，可得，兩式相減，可得，兩式相加可得.問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)當(dāng)時(shí)，，得到，從而證明結(jié)論.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根，

令，則函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn).

，令.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，

且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，

即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為.

（2）證明：不妨設(shè).

由題意可得.

兩式相減可得，兩式相加可得.

.

令，則，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，.

.

又，

，即，

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】考察所有排列，將每種排列視為一個(gè)元有序?qū)崝?shù)組，設(shè)且，設(shè)為的最大項(xiàng)，其中.記數(shù)組為.例如，時(shí)，；時(shí)，.若數(shù)組中的不同元素個(gè)數(shù)為2.

（1）若，求所有元有序?qū)崝?shù)組的個(gè)數(shù)；

（2）求所有元有序?qū)崝?shù)組的個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線 （為參數(shù)）， （為參數(shù)）

（Ⅰ）將的方程化為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；

（Ⅱ）若上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)到直線 （為參數(shù)）距離的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】新能源汽車正以迅猛的勢(shì)頭發(fā)展，越來越多的企業(yè)不斷推出純電動(dòng)產(chǎn)品，某汽車集團(tuán)要對(duì)過去一年推出的四款純電動(dòng)車型中銷量較低的車型進(jìn)行產(chǎn)品更新?lián)Q代.為了了解這種車型的外觀設(shè)計(jì)是否需要改進(jìn)，該集團(tuán)委托某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)大眾做問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的人群中抽取了人進(jìn)行抽樣分析，得到如下表格：（單位：人）

喜歡

不喜歡

合計(jì)

青年人

中年人

合計(jì)

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為大眾對(duì)型車外觀設(shè)計(jì)的喜歡與年齡有關(guān)？

（2）現(xiàn)從所抽取的中年人中按是否喜歡型車外觀設(shè)計(jì)利用分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機(jī)選出人贈(zèng)送五折優(yōu)惠券，求選出的人中至少有人喜歡該集團(tuán)型車外觀設(shè)計(jì)的概率；

（3）將頻率視為概率，從所有參與調(diào)查的人群中隨機(jī)抽取人贈(zèng)送禮品，記其中喜歡型車外觀設(shè)計(jì)的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差.

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則該函數(shù)為“依附函數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)是否為“依附函數(shù)”，并說明理由；

(2)若函數(shù)在定義域上“依附函數(shù)”，求的取值范圍；

(3)已知函數(shù)在定義域上為“依附函數(shù)”.若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若無窮數(shù)列滿足：，且對(duì)任意的，（，，，）都有，則稱數(shù)列為“G”數(shù)列.

（1）已知等比數(shù)列的通項(xiàng)為，證明：是“G”數(shù)列；

（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為且有，若對(duì)每一個(gè)取，中的較小者組成新的數(shù)列，若數(shù)列為“G”數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍？

（3）若數(shù)列是“G”數(shù)列，且數(shù)列的前n項(xiàng)之積滿足，求證：數(shù)列是等比數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.現(xiàn)以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).

（1）求曲線的直角坐標(biāo)系方程和直線的普通方程；

（2）點(diǎn)在曲線上，且到直線的距離為，求符合條件的點(diǎn)的直角坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓：的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知橢圓離心率為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線斜率的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上,AB是球O的一條直徑,且AC=2,BC=4,現(xiàn)有下面四個(gè)結(jié)論:

①球O的表面積為20π;②AC上存在一點(diǎn)M,使得AD∥BM;

③若AD=3,則BD=4;④四面體ABCD體積的最大值為.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( )

A.①②B.②④C.①④D.①③④

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