Question

已知函數(shù)y=f（x）=

x2+3x+2a

x

，x∈[2，+∞）
（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若對(duì)任意x∈[2，+∞），f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f（x）=

x2+3x+1

x

=x+

1

x

+3，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求最值．
（2）

x+3x+2a

x

＞0，對(duì)x∈[2，+∞）恒成立，2a＞-x²-3x，構(gòu)造函數(shù)g（x）=-x²-3x，x∈[2，+∞）求解最大值，再求a的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f（x）=

x2+3x+1

x

=x+

1

x

+3，
f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，∵x∈[2，+∞），∴f′（x）＞0
可知y=f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)
∴f（x）=f（2）=2+

1

2

+3=

11

2

，
（2）由f（x）＞0，y有

x+3x+2a

x

＞0，對(duì)x∈[2，+∞）恒成立，
∴2a＞-x²-3x
令g（x）=-x²-3x，x∈[2，+∞）
∴g（x）_max=f（2）=-10
∴2a＞-10
即a＞-5，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍；（-5，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了均值不等式在求解函數(shù)最值中的應(yīng)用，單調(diào)性定義的判斷．