Question

已知函數(shù)

（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當(dāng)時，討論的單調(diào)性.

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問，先將代入得到表達式，對求導(dǎo)，將切點的橫坐標(biāo)2代入中得到切線的斜率k，再將切點的橫坐標(biāo)2代入到中，得到切點的縱坐標(biāo)，最后利用點斜式寫出切線方程；第二問，討論的單調(diào)性即討論的正負(fù)，即討論導(dǎo)數(shù)表達式分子的正負(fù)，所以構(gòu)造函數(shù)，通過分析題意，將分成、、、多種情況，分類討論，判斷的正負(fù)，從而得到的單調(diào)性.

試題解析：（1）當(dāng)時，

6分

（2）因為，

所以 ，

令 8分

（i）當(dāng)a=0時，

所以當(dāng)時g(x)>0, 此時函數(shù)單調(diào)遞減，

x∈（1，∞）時，g(x)<0,此時函數(shù)f,(x)單調(diào)遞增。

（ii）當(dāng)時，由，解得： 10分

①若,函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減， 11分

②若，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

③ 當(dāng)a<0時，由于1/a-1<0,

x∈(0,1)時，g(x)>0,此時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；

x∈（1，∞）時，g(x)<0 ,,此時函數(shù)單調(diào)遞增。

綜上所述：

當(dāng)a≤ 0 時，函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減;

函數(shù)f(x)在 (1, +∞) 上單調(diào)遞增

當(dāng)時,函數(shù)f(x)在(0, + ∞)上單調(diào)遞減

當(dāng)時，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減；

函數(shù) f(x)在上單調(diào)遞增； 14分

考點：導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性.