Question

13．設(shè)橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過M（2，2e），$N（2e，\sqrt{3}）$兩點(diǎn)，其中e為橢圓的離心率，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求橢圓E的方程；
（II）過橢圓右焦點(diǎn)F的一條直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{AB}}$|，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出方程組求出a，b，即可求出橢圓的方程．
（2）通過$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{AB}}|$，得到$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，若直線l斜率不存在時(shí)，判斷是否滿足題意；若直線l斜率存在時(shí)不妨設(shè)直線l方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓方程，通過韋達(dá)定理求出弦長即可．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a^2}+\frac{{4{c^2}}}{{{a^2}{b^2}}}=1\\ \frac{{4{c^2}}}{a^4}+\frac{3}{b^2}=1\end{array}\right.⇒$$\left\{\begin{array}{l}{b^2}=4\\ \frac{{4（{a^2}-{b^2}）}}{a^4}+\frac{3}{b^2}=1\end{array}\right.⇒$$\left\{\begin{array}{l}{b^2}=4\\{a^2}=8\end{array}\right.⇒$$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；…（6分）
（2）因?yàn)?|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{AB}}|$，得$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，…（7分）
若直線l斜率不存在時(shí)，直線l方程為x=2，
此時(shí)A（2，$\sqrt{2}$），B（2，$-\sqrt{2}$）不滿足$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，…（8分）
若直線l斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線l方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.⇒（2{k^2}+1）{x^2}-8{k^2}x+8{k^2}-8=0$$⇒\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{2{k^2}+1}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{8{k^2}-8}}{{2{k^2}+1}}\end{array}\right.$
又∵$\left\{\begin{array}{l}{y_1}=k（{x_1}-2）\\{y_2}=k（{x_2}-2）\end{array}\right.⇒{y_1}{y_2}={k^2}[{x_1}{x_2}-2（{x_1}+{x_2}）+4]=\frac{{-4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0⇒{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=0$，∴$\frac{{4{k^2}-8}}{{2{k^2}+1}}=0∴{k^2}=2$，…（11分）
$|{\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{12\sqrt{2}}}{5}$…（13分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．