Question

14．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：對任意的實數(shù)x都有f（-x）=f（x+2），且f（-1）=2，f（2）=-1．則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值為（　�。�

• A． 2017
• B． 1010
• C． 1008
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)題意，結合函數(shù)的奇偶性分析可得f（x）=f（-x）=f（x+2），即可得函數(shù)f（x）的周期為2，即有f（x）=f（x+2）成立；進而分析可得f（1）=f（3）=f（5）=…=f（2017）=2和f（2）=f（4）=f（6）=…=f（2016）=-1，將其值代入f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）中，計算即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，f（x）是偶函數(shù)，且對任意的實數(shù)x都有f（-x）=f（x+2），
則有f（x）=f（-x）=f（x+2），
即函數(shù)f（x）的周期為2，即有f（x）=f（x+2）成立；
若f（-1）=2，則f（1）=f（3）=f（5）=…=f（2017）=2，
f（2）=-1，則f（2）=f（4）=f（6）=…=f（2016）=-1，
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=2×1009+（-1）×1008=1010，
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的性質，關鍵是靈活運用函數(shù)的奇偶性的性質，分析得到函數(shù)的周期．