Question

15．在圓x²+y²-4x-4y-2=0內(nèi)，過點(diǎn)E（0，1）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（　�。�

• A． 5$\sqrt{2}$
• B． 10$\sqrt{2}$
• C． 15$\sqrt{2}$
• D． 20$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，找出圓心坐標(biāo)與圓的半徑，根據(jù)圖形可知，過點(diǎn)E最長的弦為直徑AC，最短的弦為過E與直徑AC垂直的弦BD，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出ME的長度，根據(jù)垂徑定理得到E為BD的中點(diǎn)，在直角三角形BME中，根據(jù)勾股定理求出BE，則BD=2BE，然后利用AC與BD的乘積的一半即可求出四邊形ABCD的面積．

解答 解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-2）²+（y-2）²=10，
則圓心坐標(biāo)為（2，2），半徑為$\sqrt{10}$，
根據(jù)題意畫出圖象，如圖所示：
由圖象可知：過點(diǎn)E最長的弦為直徑AC，最短的弦為過E與直徑AC垂直的弦，則AC=2$\sqrt{10}$，MB=$\sqrt{10}$，ME=$\sqrt{（2-0）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
所以BD=2BE=2$\sqrt{5}$，
又AC⊥BD，
所以四邊形ABCD的面積S=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{10}$×2$\sqrt{5}$=10$\sqrt{2}$．
故選B

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生掌握垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．學(xué)生做題時(shí)注意對(duì)角線垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半．