Question

已知a＞0且a≠1，f（x）=x²-a^x．當(dāng)x∈（-1，1），均有f（x）＜

1

2

，則實數(shù)a取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：化簡不等式f（x）＜

1

2

為x²-

1

2

＜a^x，構(gòu)造函數(shù)h（x）=x²-

1

2

，g（x）=a^x，根據(jù)圖象建立不等式組，求解不等式組即可得到a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=x²-a^x，
∴f（x）＜

1

2

可化為
x²-a^x＜

1

2

，
即x²-

1

2

＜a^x，
令h（x）=x²-

1

2

，g（x）=a^x，
則如圖，當(dāng)x∈（-1，1），不等式f（x）＜

1

2

等價于h（x）=x²-

1

2

恒在g（x）=a^x下方，
即g（-1）≥h（-1），且g（1）≥h（1）．
∴

a-1≥ 1 2 a≥ 1 2

．
解得

1

2

≤a≤2，又a＞0且a≠1，
即實數(shù)a取值范圍是[

1

2

，1）∪（1，2]．
故答案為：[

1

2

，1）∪（1，2]．

點(diǎn)評：本題考查構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)解決不等式恒成立問題的方法技巧，屬于中檔題．