Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ex}{{e}^{x}}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）極值；
（Ⅱ）若直線y=ax+b是函數(shù)f（x）的切線，判斷a-b是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在說明理由．
（Ⅲ）求方程f[f（x）]=x的所有解．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)，令f′（x）=0時(shí)，求得可能的極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即可求得函數(shù)f（x）極值；
（Ⅱ）求得切點(diǎn)，求得切線方程，則$a-b=\frac{e（1-t）}{e^t}-\frac{{e{t^2}}}{e^t}=\frac{{e（-{t^2}-t+1）}}{e^t}$，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)的F（t）的極大值為F（-1）=e²即為a-b的最大值；
（Ⅲ）設(shè)m是方程f[f（x）]=x的解，即f[f（m）]=m，由k_AB=-1，則函數(shù)f（x）的最大值是1，且f（m）≠m，則$\left\{\begin{array}{l}f（n）=m＜1\\ f（m）=n＜1\end{array}\right.$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得方程f[f（x）]=x的所有解．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為：f′（x）=$\frac{e（1-x）}{{e}^{x}}$；…（1分）
當(dāng)f′（x）=0時(shí)，得x=1；
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，得x＜1，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)f'（x）＜0時(shí)，得x＞1，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減；
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值f（1）=1．…（3分）
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的切點(diǎn)為$P（t，\frac{et}{e^t}）$，t∈R．
顯然該點(diǎn)處的切線為：$y-\frac{et}{e^t}=\frac{e（1-t）}{e^t}（x-t）$，即為$y=\frac{e（1-t）}{e^t}x+\frac{{e{t^2}}}{e^t}$；…（4分）
可得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{e（1-t）}{e^t}\\ b=\frac{{e{t^2}}}{e^t}\end{array}\right.$，則$a-b=\frac{e（1-t）}{e^t}-\frac{{e{t^2}}}{e^t}=\frac{{e（-{t^2}-t+1）}}{e^t}$；
設(shè)函數(shù)$F（t）=a-b=\frac{{e（-{t^2}-t+1）}}{e^t}$；…（5分）
其導(dǎo)函數(shù)為$F'（t）=\frac{{e（{t^2}-t-2）}}{e^t}$，顯然函數(shù)當(dāng)F'（t）＞0時(shí)，得t＜-1或t＞2，
故函數(shù)F（t）在區(qū)間（-∞，-1）和（2，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)F'（t）＜0時(shí)，得-1＜t＜2，故函數(shù)F（t）在區(qū)間（-1，2）上單調(diào)遞減；
函數(shù)的F（t）的極大值為F（-1）=e²＞0，F(xiàn)（t）的極小值為$F（2）=-\frac{5}{e}＜0$．…（7分）
顯然當(dāng)t∈（-∞，2）時(shí)，F(xiàn)（t）≤F（-1）恒成立；
而當(dāng)t∈（2，+∞）時(shí)，$F（t）=e×\frac{{-（t+\frac{1}{2}{）^2}+\frac{5}{4}}}{e^t}$，
其中e^t＞0，$-（t+\frac{1}{2}{）^2}+\frac{5}{4}＜-（2+\frac{1}{2}{）^2}+\frac{5}{4}=-5＜0$，得F（t）＜0；…（8分）
綜上所述，函數(shù)的F（t）的極大值為F（-1）=e²即為a-b的最大值．…（9分）
（Ⅲ）設(shè)m是方程f[f（x）]=x的解，即f[f（m）]=m；
當(dāng)f（m）=m時(shí)，即$\frac{em}{e^m}=m$，可得m=0或m=1；…（11分）
當(dāng)f（m）≠m時(shí)，設(shè)f（m）=n，且n≠m．
此時(shí)方程f[f（m）]=m，得f（n）=m；
所以兩點(diǎn)A（m，n），B（n，m）都在函數(shù)f（x）的圖象上，且k_AB=-1；…（12分）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的最大值是1，且f（m）≠m，所以$\left\{\begin{array}{l}f（n）=m＜1\\ f（m）=n＜1\end{array}\right.$，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）上單調(diào)遞增，兩點(diǎn)A（m，n），B（n，m）的橫坐標(biāo)都在區(qū)間（-∞，1）上，顯然k_AB＞0；    …（13分）
這與k_AB=-1相矛盾，此種情況無解；…（14分）
綜上，方程f[f（x）]=x的解x=0和x=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及最值得關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．