Question

16．已知3sinβ=sin（2α+β），α≠kπ+$\frac{π}{2}$，α+β≠kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），求證：tan（α+β）=2tanα

Answer 1

分析 由條件利用兩角和差的正弦公式求得2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系證得要證的結(jié)論成立．

解答 解：∵3sinβ=sin（2α+β），α≠kπ+$\frac{π}{2}$，α+β≠kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
∴3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，
即 3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
即2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，∴tan（α+β）=2tanα成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．