Question

13．已知函數(shù)f（x）=ke^x+b（k，b∈R）（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）的導(dǎo)數(shù)為f′（x），f′（1）+f（1）=2e，且f（x）在x=1處的切線過原點(diǎn)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=x²+ax+1（a∈R），若對?x₁，x₂∈[0，2]，x₁＞x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|＞g（x₁）-g（x₂），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得x=1處切線的斜率和切點(diǎn)，可得b=0，再由條件，可得k=1，進(jìn)而得到f（x）的解析式；
（2）由f（x）的單調(diào)性，將條件轉(zhuǎn)化為f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂），令h（x）=f（x）-g（x），即有h（x）在[0，2]遞增，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，考慮大于等于0恒成立，由參數(shù)分離，求得最值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ke^x+b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ke^x，
f（x）在x=1處的切線斜率為ke，
切點(diǎn)為（1，ke+b），即有ke=ke+b，
解得b=0，
由f′（1）+f（1）=2e，
即為ke+ke+b=2e，
解得k=1，
則f（x）的解析式為f（x）=e^x；
（2）由f（x）在[0，2]遞增，且x₁＞x₂，
可得|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₁）-f（x₂），
|f（x₁）-f（x₂）|＞g（x₁）-g（x₂），
即為f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂），
可令h（x）=f（x）-g（x），即有h（x）在[0，2]遞增，
由h（x）=e^x-x²-ax-1，h′（x）=e^x-2x-a，
即有h′（x）≥0在[0，2]恒成立．
即為a≤e^x-2x的最小值．
由e^x-2x的導(dǎo)數(shù)為e^x-2，當(dāng)ln2＜x≤2時(shí)，函數(shù)遞增，
當(dāng)0≤x＜ln2時(shí)，函數(shù)遞減．
可得x=ln2時(shí)取得最小值，且為2-2ln2．
則a≤2-2ln2．
即有a的取值范圍是（-∞，2-2ln2]．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切點(diǎn)斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，以及不等式恒成立問題的解法，注意參數(shù)分離，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．