Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=e^x-ax，其中a為實(shí)數(shù)，若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

＜0，得f（x）在（a^-1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．同理，f（x）在（0，a^-1）上是單調(diào)增函數(shù)．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答： 解：令f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

＜0，
考慮到f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
故a＞0，進(jìn)而解得x＞a^-1，
即f（x）在（a^-1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．
同理，f（x）在（0，a^-1）上是單調(diào)增函數(shù)．
由于f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
故（1，+∞）⊆（a^-1，+∞），從而a^-1≤1，即a≥1．
令g'（x）=e^x-a=0，得x=lna．
當(dāng)x＜lna時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x＞lna時(shí)，g′（x）＞0．
又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，
即a＞e．綜上，有a∈（e，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．是中檔題．