Question

已知下列幾個命題：
①已知F₁，F(xiàn)₂為兩定點，|F₁F₂|=4，動點M滿足|MF₁|+|MF₂|=4，則動點M的軌跡是橢圓；
②雙曲線C：x²-y²=2013的離心率為

2

；
③拋物線y=ax²的準(zhǔn)線方程是y=1，則a=-4；
④若函數(shù)f（x）=

1

3

x3+x2+mx是R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是[1，﹢∞﹚．
其中真命題有

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①利用橢圓的定義（注意條件）即可判斷①；
②利用等軸雙曲線的性質(zhì)可判斷②；
③拋物線y=ax²?x²=

1

a

y，由-

1

4a

=1可判斷③；
④利用f′（x）=x²+2x+m≥0恒成立，可確定實數(shù)m的取值范圍，從而可判斷④．

解答： 解：①已知F₁，F(xiàn)₂為兩定點，|F₁F₂|=4，動點M滿足|MF₁|+|MF₂|=4，則動點M的軌跡是線段F₁F₂，故錯誤；
②雙曲線C：x²-y²=2013為等軸雙曲線，其離心率為

2

，正確；
③拋物線y=ax²的準(zhǔn)線方程是y=1，即x²=

1

a

y的準(zhǔn)線方程-

1

4a

=1，則a=-

1

4

，故③錯誤；
④f（x）=

1

3

x3+x2+mx是R上的單調(diào)函數(shù)，f′（x）=x²+2x+m≥0恒成立，或f′（x）=x²+2x+m≤0恒成立（舍去）；
∴△=4-4m≤0，解得m≥1，即實數(shù)m的取值范圍是[1，﹢∞），正確，
綜上所述，真命題有：②④．
故答案為：②④

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查橢圓的定義、等軸雙曲線的性質(zhì)及拋物線的準(zhǔn)線的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．