Question

3．當雙曲線C不是等軸雙曲線我們把以雙曲線C的實軸、虛軸的端點作為頂點的橢圓稱為雙曲線C的“伴生橢圓”，則離心率為$\sqrt{5}$的雙曲線的“伴生橢圓”離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 不妨設雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），則其“伴生橢圓”的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．由$\sqrt{5}$=$\frac{c}{a}$，運用a，b，c的關系，可得b=2a，再由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：不妨設雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
則其“伴生橢圓”的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．
由$\sqrt{5}$=$\frac{c}{a}$，
可得$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$=5，
即有b=2a，
其“伴生橢圓”的離心率e=$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了雙曲線與橢圓的標準方程及其性質、新定義“伴生橢圓”的意義，主要是離心率的求法，屬于中檔題．