Question

（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知?jiǎng)又本�與橢圓相交于、兩點(diǎn).

①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率的值；

②已知點(diǎn)，求證：為定值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ；（Ⅱ）（1）；

（2） 

。

【解析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性強(qiáng)．

（1）根據(jù)橢圓的離心率，三角形的面積及橢圓幾何量之間的關(guān)系，建立等式，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為- ，即可求斜率k的值；②利用韋達(dá)定理，及向量的數(shù)量積公式，計(jì)算即可證得結(jié)論．

解: （Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102513111393752071/SYS201210251313361093433771_DA.files/image006.png">滿足， ，…2分

。解得，則橢圓方程為 ……………4分

（Ⅱ）（1）將代入中得

……………………6分

……………………………7分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102513111393752071/SYS201210251313361093433771_DA.files/image015.png">中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得…………9分

（2）由（1）知，

所以 ……………11分

………………12分

……………6分