【題目】在直角坐標系中,設(shè)橢圓的焦點為,過右焦點的直線與橢圓相交于兩點,若的周長為短軸長的倍.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)的斜率為,在橢圓上是否存在一點,使得?若存在,求出點的坐標.
【答案】(1)(2)不存在點,使成立.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)橢圓定義得的周長為,即,解得橢圓的離心率;(2)設(shè), , ,則由得代入等式,并化簡得.利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達定理得, .代入解得矛盾,故不存在.
試題解析:解:(Ⅰ)∵橢圓: 的焦點為, ,
過右焦點的直線與橢圓相交于兩點,
的周長為短軸長的倍, 的周長為.
∴依題意知,即.
∴橢圓的離心率.
(Ⅱ)設(shè)橢圓方程為,
直線的方程為,
代入橢圓方程得.
設(shè), ,
則, .
設(shè),則.①
由得
代入①得.
因為, ,
所以.②
而
.
從而②式不成立.
故不存在點,使成立.
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【題目】運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米,按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位:千米/時).假設(shè)汽油的價格是每升2元,而汽車每小時耗油升,司機的工資是每小時14元.
(1)求這次行車總費用y關(guān)于x的表達式;
(2)當x為何值時,這次行車的總費用最低,并求出最低費用的值.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時, 恒成立,求的取值范圍;
(3)求證:當時, .
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【題目】已知函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù),且f(2)= .
(1)求實數(shù)m和n的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上的單調(diào)性,并加以證明.
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【題目】如果定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù)f(x),在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),又有f(3)=0,則xf(x)<0的解集為( )
A.{x|﹣3<x<0或x>3}
B.{x|x<﹣3或0<x<3}
C.{x|﹣3<x<0或0<x<3}
D.{x|x<﹣3或x>3}
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【題目】為了調(diào)查中小學課外使用互聯(lián)網(wǎng)的情況,教育部向華東、華北、華南和西部地區(qū)60所中小學發(fā)出問卷份, 名學生參加了問卷調(diào)查,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖).
(1)要從這名中小學中用分層抽樣的方法抽取名中小學生進一步調(diào)查,則在(小時)時間段內(nèi)應(yīng)抽出的人數(shù)是多少?
(2)若希望的中小學生每天使用互聯(lián)網(wǎng)時間不少于(小時),請估計的值,并說明理由.
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【題目】選修44:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,已知直線l1: (, ),拋物線C: (t為參數(shù)).以原點為極點, 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.
(Ⅰ)求直線l1 和拋物線C的極坐標方程;
(Ⅱ)若直線l1 和拋物線C相交于點A(異于原點O),過原點作與l1垂直的直線l2,l2和拋物線C相交于點B(異于原點O),求△OAB的面積的最小值.
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