在如圖所示的空間幾何體中，平面平面，與是邊長為的等邊三角形，，和平面所成的角為，且點在平面上的射影落在的平分線上．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．


解（Ⅰ）由題意知，，都是邊長為2的等邊三角形，取中點，

連接，則，，

又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，

那么，根據題意，點落在上，               ……………3分

∴，易求得，

∴四邊形是平行四邊形，∴，∴平面 ……………7分

（Ⅱ）解法一：作，垂足為，連接，

∵⊥平面，∴，又，

∴平面，∴，

∴就是二面角的平面角 …………10分

中，，

，．

∴．即二面角的余弦值為．…………14分

解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系，

可知平面的一個法向量為

設平面的一個法向量為

則，可求得．   ……10分

所以，

所以二面角的余弦值為．                        …………14分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


如圖，已知點,點在曲線上，若陰影部分面積與△面積相等時，則      ．

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


設等差數(shù)列的前項和為，則,,,

成等差數(shù)列。類比以上結論有：設等比數(shù)列的前項積為，則成等比數(shù)列。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知拋物線：的焦點為，以為圓心的圓交于兩點，交的準線于兩點，若四邊形是矩形，則圓的方程為（     ）

A.                   B.

C.                   D.  

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


如果關于的不等式和的解集分別為和（），那么稱這兩個不等式為對偶不等式。如果不等式與不等式為對偶不等式，且，則=________________

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知,則“”是“”的                   （    ）

  A．必要不充分條件           B．充要條件   

C．充分不必要條件           D．既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


對數(shù)列,如果成立,,則稱為階遞歸數(shù)列．給出下列三個結論：  

  ①若是等比數(shù)列,則為1階遞歸數(shù)列；

  ②若是等差數(shù)列,則為2階遞歸數(shù)列；

  ③若數(shù)列的通項公式為an=n2,則為3階遞歸數(shù)列．

  其中正確結論的個數(shù)是                                               (     )

  A．0                B．1                  C．2                D．3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


在中，若，則=(　　)

A．4        B．3          C．2         D．1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


函數(shù)上過點（1，0）的切線方程

A、   B、  C、  D、

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