Question

在如圖所示的空間幾何體中，平面平面，與是邊長為的等邊三角形，，和平面所成的角為，且點在平面上的射影落在的平分線上．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

解（Ⅰ）由題意知，，都是邊長為2的等邊三角形，取中點，

連接，則，，

又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，

那么，根據(jù)題意，點落在上，               ……………3分

∴，易求得，

∴四邊形是平行四邊形，∴，∴平面 ……………7分

（Ⅱ）解法一：作，垂足為，連接，

∵⊥平面，∴，又，

∴平面，∴，

∴就是二面角的平面角 …………10分

中，，

，．

∴．即二面角的余弦值為．…………14分

解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系，

可知平面的一個法向量為

設平面的一個法向量為

則，可求得．   ……10分

所以，

所以二面角的余弦值為．                        …………14分