Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面，，，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，是線段上一動(dòng)點(diǎn).

（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求證：平面平面；

（2）當(dāng)平面時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）由已知可得，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，結(jié)合，可證平面，進(jìn)而證明結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)作的平行線，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)坐標(biāo)，以及平面和平面的法向量坐標(biāo)，利用垂直平面的法向量，求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面的法向量坐標(biāo)，由空間向量面面角公式，即可求解.

（1）證明：，

為等腰直角三角形，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，.

平面平面.

且都在平面中，平面.

平面，平面平面.

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線，

過(guò)點(diǎn)與平行的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，

，.，在線段上，.

，，

，是平面的法向量，

當(dāng)平面時(shí)，，，

即，為平面的法向量.

設(shè)為平面的法向量，

，，

，，

不妨設(shè)，則，.

.

二面角的余弦值為.