Question

1．已知兩點F₁（-6，0）、F₂（6，0），點P為橢圓上任意一點，|PF₁|+|PF₂|=20
（1）求以F₁、F₂為焦點且過點P的橢圓的標準方程；
（2）求出橢圓的長軸的長，短軸長，頂點的坐標，離心率．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，橢圓是焦點在x軸上的橢圓，且求得a，c的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）由（1）可得a，b，c的值，則橢圓的長軸的長，短軸長，頂點的坐標，離心率可求．

解答 解：（1）由題意可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
且c=6，2a=20，則a=10，b²=a²-c²=64．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{64}=1$；
（2）由橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{64}=1$，
可得a=10，b=8，c=6，
∴橢圓的長軸的長為20；短軸長為16；頂點的坐標為（-10，0），（10，0），（0，-8），（0，8）；離心率e=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查橢圓方程的求法，是基礎(chǔ)題．