Question

6．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是棱BC、CC₁的中點(diǎn)．
（ 1 ）求證：MN∥面AB₁D₁；
（文科）（2）若正方體邊長(zhǎng)為2，求三棱錐${\;}_{{A}_{1}-{B}_{1}A{D}_{1}}$的體積．
（理科）（2）求二面角D-MN-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出MN∥AD₁，由此能證明MN∥面AB₁D₁．
（文）（2）三棱錐A₁-B₁AD₁的體積V${\;}_{{A}_{1}-{B}_{1}A{D}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$，由此能求出結(jié)果．
（理）（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-MN-C的余弦值．

解答 證明：（1）∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是棱BC、CC₁的中點(diǎn)，
∴MN∥BC₁，∵BC₁∥AD₁，∴MN∥AD₁，
∵M(jìn)N?面AB₁D₁，AD₁?面AB₁D₁，
∴MN∥面AB₁D₁．
解：（文）（2）∵正方體邊長(zhǎng)為2，
三棱錐A₁-B₁AD₁的體積：
V${\;}_{{A}_{1}-{B}_{1}A{D}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}×A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．
（理）（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
D（0，0，0），M（1，2，0），N（0，2，1），C（0，2，0），
$\overrightarrow{DM}$=（1，2，0），$\overrightarrow{DN}$=（0，2，1），
設(shè)平面DMN的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DN}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow{n}$=（2，-1，2），
平面MNC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設(shè)二面角D-MN-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{3}$，
∴二面角D-MN-C的余弦值為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐體積的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．