Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=2[f（x）]²+3mf（x）+1有8個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-1，-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）．

Answer 1

分析 先將函數(shù)進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問題．結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，確定m的取值范圍．

解答 先畫出f（x）的圖象，如下圖：

令t=f（x），原方程2[f（x）]²+3mf（x）+1=0可化為：
2t²+3mt+1=0，------------①
由圖可知，方程f（x）=t對(duì)于每個(gè)屬于（0，1）的t都有四個(gè)解，
因此，要使原函數(shù)有8個(gè)不同的零點(diǎn)，則關(guān)于t的方程①在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)相異的實(shí)根，
根據(jù)一元二次方程實(shí)根分布，問題等價(jià)為：
$\left\{\begin{array}{l}{△=9m^2-8＞0}\\{-\frac{3m}{4}∈（0，1）}\\{2+3m+1＞0}\end{array}\right.$，解得，m∈（-1，-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）．
答案為：（-1，-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，一元二次方程的實(shí)根分布，以及換元法和數(shù)形結(jié)合法的解題思想，屬中檔題．