Question

設(shè)數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為S_n，對n∈N^*，都有a_n=5S_n+2成立，
（Ⅰ） 求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列b_n=log₂|a_n|，試求數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和M_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把n=1代入a_n=5S_n+2，即可求出首項(xiàng)的值，當(dāng)n大于等于1時，利用a_n=S_n-S_n-1，即可確定出此數(shù)列為等比數(shù)列，且得到等比數(shù)列的公比的值，根據(jù)求出的首項(xiàng)和公比寫出通項(xiàng)公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通項(xiàng)公式代入b_n=log₂|a_n|中，利用對數(shù)的運(yùn)算法則化簡后，即可確定出數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，分別求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和M_n即可．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，a₁=5S₁+2=5a₁+2，
∴a1=-

1

2

，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

5

(an-2)-

1

5

(an-1-2)，
∴an=-

1

4

an-1，即

an

an-1

=-

1

4

，
∴數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，其首項(xiàng)a1=-

1

2

，公比為-

1

4

，
∴數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式an=-

1

2

•(-

1

4

)n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=（-1）ⁿ•2^1-2n，
∴b_n=log₂|a_n|=1-2n，
∵b_n+1-b_n=-2，
∴{a_n}為等差數(shù)列，且首相為b₁=-1，公差為-2，
∴Mn=

n(-1+1-2n)

2

=-n2．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握等比數(shù)列及等差數(shù)列的確定方法，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡求值，是一道中檔題．