Question

已知θ∈（

π

2

，π），

1

sinθ

+

1

cosθ

=2

2

，則sin（2θ-

π

3

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正弦

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：對(duì)

1

sinθ

+

1

cosθ

=2

2

進(jìn)行通分、兩邊同乘sinθcosθ，然后兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及倍角公式可求出sin2θ、cos2θ，注意根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號(hào)，代入兩角差的正弦公式求sin（2θ-

π

3

）值．

解答： 解：∵

1

sinθ

+

1

cosθ

=

sinθ+cosθ

sinθcosθ

=2

2

，
∴sinθ+cosθ=2

2

sinθcosθ=

2

sin2θ
兩邊平方得：1+sin2θ=2sin²2θ
解得：sin2θ=-

1

2

或sin2θ=1
∵θ∈（

π

2

，π），∴2θ∈（π，2π）
∴sin2θ=-

1

2

，∴sinθ+cosθ=-

2

2

∴cos2θ=

3

2

∴sin（2θ-

π

3

）=sin2θcos

π

3

-cos2θsin

π

3

=-

1

2

×

1

2

-

3

2

×

3

2

=-1
故答案為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)及求值問題，在求解過程中注意公式的選擇，在利用平方關(guān)系式時(shí)要特別注意要確定三角函數(shù)值的符號(hào)．