Question

已知向量

a

=（sin（ωx+φ），2），

b

=（1，cos（ωx+φ））（ω＞0，0＜φ＜

π

4

）．函數(shù)f（x）=（

a

+

b

）•（

a

-

b

），y=f（x）的圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離為2，且過點M（1，

7

2

）．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2014）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算、平方關(guān)系、二倍角的余弦公式化簡解析式，由周期公式和題意求出ω的值，再把點M（1，

7

2

）代入化簡后，結(jié)合φ的范圍求出φ；
（2）根據(jù)函數(shù)的周期為4，求出一個周期內(nèi)的函數(shù)值的和，再根據(jù)周期性求出式子的值．

解答： 解：（1）由題意得，f(x)=(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-

b

2
=sin²（ωx+φ）+4-1-cos²（ωx+φ）=-cos（2ωx+2φ）+3，
因為函數(shù)的周期T=

2π

2ω

=2×2，所以ω=

π

4

，
又圖象過點M（1，

7

2

），所以

7

2

=3-cos(

π

2

×1+2φ)，即sin2φ=

1

2

，
由0＜φ＜

π

4

，得2φ=

π

6

，φ=

π

12

，
所以f(x)=3-cos(

π

2

x+

π

6

)．                                …5’
（2）因為y=f（x）的周期T=4，
且f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=(3-

3

2

)+(3+

1

2

)+(3+

3

2

)+(3-

1

2

)=12，
所以f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2014）=503×12+f（0）+f（1）+f（3）=6045

1

2

．     …10’

點評：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、平方關(guān)系、二倍角的余弦公式，以及三角函數(shù)周期性的應(yīng)用，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．