Question

已知：
sin²15°+sin²75°+sin²135°=

3

2

，
sin²30°+sin²90°+sin²150°=

3

2

，
sin²45°+sin²105°+sin²165°=

3

2

，
通過(guò)觀察上述三個(gè)等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出一般性的命題，并對(duì)該命題進(jìn)行證明．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：推理和證明

分析：分析已知條件中，我們可以發(fā)現(xiàn)等式左邊參加累加的三個(gè)均為正弦的平方，且三個(gè)角組成一個(gè)以60°為公差的等差數(shù)列，右邊是常數(shù)，由此不難得到結(jié)論．

解答： 解：由已知，
sin²15°+sin²75°+sin²135°=

3

2

，
sin²30°+sin²90°+sin²150°=

3

2

，
sin²45°+sin²105°+sin²165°=

3

2

，
歸納推理的一般性的命題為：sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=

3

2

，
證明如下：
左邊=

1

2

[1-cos（2α-120）]+

1

2

（1-cos2α）+

1

2

[1-cos（2α+120）]
=

3

2

-

1

2

[cos（2α-120°）+cos2α+cos（2α+120°）]
=

3

2

=右邊．
∴結(jié)論正確．

點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想），（3）論證．