Question

已知等差數(shù)列{a_n}，公差d＜0，設(shè)b_n=（

1

2

） an，又已知b₁+b₂+b₃=

21

8

，b₁•b₂•b₃=

1

8

，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè){a_n}的公差為d．由已知條件得{b_n}為以(

1

2

)a1為首項(xiàng)，公比為(

1

2

)d的等比數(shù)列．由b₁+b₂+b₃=

21

8

，b₁•b₂•b₃=

1

8

，得

b1+b3= 17 8 b1b3= 1 4

，解得

b1= 1 8 b3=2

（舍）或

b3= 1 8 b1=2

，所以b_n=（

1

2

）^2n-3，從而得到a_n=2n-3，n∈N^*．

解答： 解：設(shè){a_n}的公差為d．

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d為常數(shù)，又b_n＞0．
即{b_n}為以(

1

2

)a1為首項(xiàng)，公比為(

1

2

)d的等比數(shù)列．
∵b₁•b₂•b₃=

1

8

，∴b2=

1

2

，
∵b₁+b₂+b₃=

21

8

，b₁•b₂•b₃=

1

8

，
∴

b1+b3= 17 8 b1b3= 1 4

，解得

b1= 1 8 b3=2

或

b3= 1 8 b1=2

，
由{b_n}公比為q=（

1

2

）^d∈（0，1），
∴b₁＞b₃，∴

b3= 1 8 b1=2

，
∴b_n=（

1

2

）^2n-3，
∴a_n=2n-3，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì)，關(guān)鍵是正確運(yùn)用等比數(shù)列的定義，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．