Question

3．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（1）化C₁為普通方程，C₂為參數(shù)方程；并說(shuō)明它們分別表示什么曲線？
（2）若C₁上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=$\frac{π}{2}$，Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C₃：x-2y-7=0距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化方法，可得相應(yīng)方程及表示的曲線；
（2）求出M的參數(shù)坐標(biāo)，M到C₃的距離，利用三角函數(shù)知識(shí)即可求解．

解答 解：（1）由C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$，消去t得到曲線C₁：（x+4）²+（y-3）²=1，
C₁表示圓心是（-4，3），半徑是1的圓．
曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1表示中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8，短半軸長(zhǎng)是3的橢圓．
其參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）
（2）依題設(shè)，當(dāng)t=$\frac{π}{2}$時(shí)，P（-4，4）；
且Q（8cos θ，3sin θ），
故M（-2+4cos θ，2+$\frac{3}{2}$sin θ）
又C₃為直線x-2y-7=0，
M到C₃的距離d=$\frac{\sqrt{5}}{4}$|4cos θ-3sin θ-13|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|5cos（θ+φ）-13|，
從而當(dāng)cos θ=$\frac{4}{5}$，sin θ=-$\frac{3}{5}$時(shí)，其中φ由sin φ=$\frac{3}{5}$，cos φ=$\frac{4}{5}$確定，cos（θ+φ）=1，d取得最小值$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．