Question

6．（1）已知矩陣M=$[\begin{array}{l}{2}&{a}\\&{1}\end{array}]$，其中a，b均為實(shí)數(shù)，若點(diǎn)A（3，-1）在矩陣M的變換作用下得到點(diǎn)B（3，5），求矩陣M的特征值；
（2）在極坐標(biāo)中，設(shè)直線(xiàn)θ=$\frac{π}{3}$與曲線(xiàn)ρ²-10ρcosθ+4=0相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB中點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得到$[\begin{array}{l}{2}&{a}\\&{1}\end{array}][\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]=[\begin{array}{l}{3}\\{5}\end{array}]$，從而求出a=3，b=2，進(jìn)而得到矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ），令f（λ）=0，能求出矩陣M的特征值．
（2）聯(lián)立直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的方程組可得ρ²-5ρ+4=0，解得ρ₁=1，ρ₂=4，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出線(xiàn)段AB中點(diǎn)的極坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵矩陣M=$[\begin{array}{l}{2}&{a}\\&{1}\end{array}]$，其中a，b均為實(shí)數(shù)，若點(diǎn)A（3，-1）在矩陣M的變換作用下得到點(diǎn)B（3，5），
∴$[\begin{array}{l}{2}&{a}\\&{1}\end{array}][\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]=[\begin{array}{l}{3}\\{5}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2×3-a=3}\\{3×b-1=5}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=2，
∴矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-2}&{-3}\\{-2}&{λ-1}\end{array}|$=（λ-2）（λ-1）-6=λ²-3λ-4，
令f（λ）=0，
得到兩個(gè)特征值分別為λ₁=-1，λ₂=4．
（2）聯(lián)立直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的方程組$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{π}{3}}\\{{ρ}^{2}-10ρcosθ+4=0}\end{array}\right.$，
消去θ，得ρ²-5ρ+4=0，
解得ρ₁=1，ρ₂=4，
∴線(xiàn)段AB中點(diǎn)的極坐標(biāo)為（$\frac{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}}{2}$，$\frac{π}{3}$），即（$\frac{5}{2}$，$\frac{π}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩陣特征值、直線(xiàn)與圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．